Kombinerade kretsar

Från tidigare avsnitt har vi lärt oss komponenter kopplade i serie har samma ström genom sig, medan spänningen fördelar sig över dem i delspänningar enligt KVL (Kirchhoffs spänningslag).

För komponenter som är kopplade parallellt är det istället strömmen som delar sig i delströmmar enligt KCL (Kirchhoffs strömlag) medan spänningen är samma över de parallella grenarna.

Kretsar i verkligheten är ofta lite mer komplicerade än att alla komponenter är kopplade i serie eller att alla komponenter är kopplade parallellt.

I kretsen är $R_{1}$ och $R_{2}$ kopplade parallellt med varandra, och den parallellkopplingen är sen kopplad i serie med $R_{3}$ .

Ohms lag gäller även här, men det är viktigt att hålla koll på vilken ström och vilken spänning man pratar om när man delar upp kretsen i mindre delar.

Tar vi kretsen ovan som exempel vet vi att spänningskällan har spänningen $U$ . Enligt KVL måste den spänningen fördelas över alla komponenterna i serie.

Exempel: Kombinerad krets

I kretsen nedan har batteriet spänningen $U = 20 V$ , och resistorerna är $R_{1} = 100 Ω$ , $R_{2} = 150 Ω$ och $R_{3} = 20 Ω$ .

a) Bestäm den totala strömmen i kretsen.
b) Bestäm delspänningarna över alla resistorer i kretsen.
c) Bestäm alla delströmmar i kretsen.

Lösning

a) Vi kan lösa ut den totala strömmen med Ohms lag. Det vi behöver då är den totala spänningen från spänningskällorna och den totala resistansen.

$R_{1}$ och $R_{2}$ är kopplade parallellt och kan ersättas med resistansen som vi kallar för $R_{12}$ .

$\frac{1}{R _{12}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ $\frac{1}{R _{12}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{150} = \frac{100 + 150}{100 \cdot 150} = \frac{1}{60}$ $R_{12} = 60 Ω$

Nu är $R_{12}$ och $R_{3}$ i serie och den totala resistansen i kretsen kan beräknas som summan av dessa.

$R_{t o t} = R_{12} + R_{3} = 60 + 20 = 80 Ω$

Vi söker $I_{t o t}$ och vet $R_{t o t}$ och $U_{t o t}$ . Då kan vi använda ohms lag.

$I_{t o t} = U_{t o t} / R_{t o t} = 20/80 = 1/4 = \underline{0.25 A}$

b) Vi söker delspänningarna över resistorerna. Vi kallar spänningen över $R_{1}$ för $U_{1}$ , spänningen över $R_{2}$ för $U_{2}$ , osv.

Vi kan utnyttja Ohms lag för att beräkna $U_{3}$ .

$U_{3} = R_{3} \cdot I_{t o t}$

Anledningen till att vi använder $I_{t o t}$ är för att det är den strömmen som går igenom resistansen.

$U_{3} = 20 \cdot 0.25 = \underline{5 V}$

Om vi potentialvandrar från batteriets pluspol mot minuspolen och går igenom $R_{1}$ ser vi att finns en potentialskillnad över den resistorn. Den delspänningen har vi kallat för $U_{1}$ . Fortsätter vi att vandra stöter vi också på $U_{3}$ . Därefter är vi framme vid minuspolen.

Kirchhoffs spänningslag säger att alla spänningar i en krets efter ett helt varv ska vara noll. Detta ger

$U_{t o t} - U_{1} - U_{3} = 0$ $U_{1} = U_{t o t} - U_{3} = 20 - 5 = \underline{15 V}$

Vi vet att vid parallellkoppling är spänningen över de olika grenarna samma. Vi vet alltså att $U_{1} = U_{2} = \underline{15 V}$ .

c) Vi söker nu alla delströmmar. Det finns $I_{1}$ som går igenom $R_{1}$ och $I_{2}$ som går igenom $R_{2}$ .

I grenen med $R_{1}$ är resistansen $100 Ω$ , spänningen över är $U_{1} = 15 V$ och strömmen igenom är $I_{1} = ?$ .

Med Ohms lag får vi:

$I_{1} = U_{1} / R_{1} = 15/100 = \underline{0.15 A}$

På samma sätt kan vi beräkna $I_{2}$ .

$I_{2} = U_{2} / R_{2} = 15/150 = \underline{0.1 A}$

Har man koll på hur man räknar på parallella och seriella kopplingar är inte kombinerade kretsar mycket svårare.

Ersättningsresistans

I tidigare kapitel har vi kunnat kalla den totala ersättningsresistansen för $R_{ers \overset{a}{¨} tt nin g}$ . I kombinerade kretsar behöver man dock ofta ersätta resistanser i flera steg. Det är då bättre att namnge den nya ersättningsresistansen efter de resistorer som har ersatts. Exempelvis kan ersättningsresistansen för $R_{1}$ och $R_{2}$ kallas för $R_{12}$ .

Här är en generell steg-för-steg metod i att ersätta ett komplicerat resistornät:

Ersätt resistorerna som är kopplade i serie på samma gren.
Ersätt de parallella kopplingarna.
Ersätt resterande seriekoppling.

Det är kanske lite oklart nu hur en krets kan se ut och vad ni förväntas göra så vi tar ett exempel.

Ersättningsresistanser

I en krets har vi åtta resistanser som är kopplade enligt bilden nedan.

Hur ska vi gå till väga för att beräkna den totala resistansen?

Lösning:

Om vi tar en närmare titt på resistanserna $R_{1}$ , $R_{2}$ och $R_{3}$ ser vi att $R_{1}$ är kopplad parallellt med de två resistorerna $R_{2}$ och $R_{3}$ . Innan vi kan beräkna ersättningsresistansen för den parallella kopplingen måste vi först beräkna ersättningsresistansen för $R_{2}$ och $R_{3}$ .

$R_{23} = R_{2} + R_{3}$

Nu kan vi beräkna ersättningsresistansen för $R_{1}$ och $R_{23}$ . Vi kallar den för $R_{123}$ .

$\frac{1}{R _{123}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{23}}$

Nu kan vi kolla på resistorerna 4 till 8. Innan vi kan beräkna den parallella kopplingen måste vi först se till att alla seriekopplade resistorer på samma gren har ersatts.

Vi ersätter $R_{5}$ , $R_{6}$ och $R_{7}$ med $R_{567}$ .

Vi kan nu ersätta den parallella kopplingen med $R_{45678}$ .

Nu har vi en krets med två resistorer som är kopplade i serie så det är bara att ersätta dem också så har vi fått den totala resistansen.

$R_{t o t} = R_{123} + R_{45678}$

Mekatronik 1 | MTU

Kombinerade kretsar

Ersättningsresistans